Seminars
2016/2017
expand/collapse
| 31.05.2017r. | Jak często jest sumą trzech kwadratów? |
| Bartosz Sobolewski | |
| Abstract: Klasyczne twierdzenie udowodnione przez Legendre'a charakteryzuje liczby naturalne, które można przedstawić jako sumę trzech kwadratów liczb całkowitych. Na tej podstawie Deshouillers i Luca określili gęstość zbioru liczb naturalnych , takich że jest sumą trzech kwadratów. W referacie omówię szczegółowo dowód tego rezultatu, wykorzystujący techniki typowe dla badania ciągów automatycznych. Przedstawię także własne rozważania, dotyczące pewnych modyfikacji i uogólnień wspomnianego problemu. | |
| 17.05.2017r. | Problem Lehmera dla rekurencji liniowych |
| Maciej Gawron | |
| Abstract: W 1932 roku Lehmer postawił przypuszczenie, że liczba jest dzielnikiem liczby wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą pierwszą. Liczbę o tej własności będziemy nazywać liczbą Lehmera. W ostatnich latach pojawiła się seria prac, w których udowodniono, że w pewnych ciągach liczbowych nie ma złożonych liczb Lehmera. W szczególności własność te mają ciągi Fibonacciego (Luca 2007), Cullena (Ribas, Luca, 2011), tzw. repunits (Cilleruelo, Luca 2011), uogólnionych liczb Cullena (Kim, Oh, 2013), Lucasa (Faye, Luca, 2015), Pella (Faye, Luca, 2015). W referacie omówię dokładnie dowód z pracy Luci dotyczący liczb Fibonacciego oraz jakie inne techniki zostały użyte w pozostałych wymienionych pracach. | |
| 10.05.2017r. | O pewnym algorytmie wyliczania współczynników szeregów formalnych |
| Maciej Chrzanowski | |
| Abstract: Celem referatu jest przedstawienie twierdzenia udowodnionego przez Bostan, Christol i Dumas. Konsekwencją tego twierdzenia jest algorytm pozwalający na szybkie wyliczanie współczynników szeregów formalnych modulo . Złożoność jaką otrzymujemy to . | |
| 26.04.2017r. | O sumach dwóch dzielników wartości pewnych trójmianów kwadratowych |
| Eryk Lipka | |
| Abstract: W referacie rozważam następujące zagadnienie: dla zadanych liczb całkowitych chcemy znaleźć takie , że ma dwa względnie pierwsze dzielniki o sumie . Problem ten jest naturalnym uogólnieniem zagadnienia badanego w serii prac przez Dujellę i Lucę, którzy rozważali przypadek . Zagadnienie zostanie sprowadzone do badania równania typu Pella zależnego od parametrów i . Udowodnię, że dla szerokiej rodziny wartości istnieje nieskończenie wiele -ów o żądanej własności, oraz że znalezienie chociaż jednego rozwiązania pozwala nam w wielu przypadkach generować kolejne. Na końcu zaprezentuję wyniki obliczeń numerycznych dla par , dla których zaproponowana metoda nie daje pożądanych wyników. Ponadto przedstawię możliwe kierunki dalszej analizy. | |
| 19.04.2017r. | On patterns of 's in continued fractions expansions of square roots of prime numbers |
| Maciej Ulas | |
| Abstract: Motivated by recent work of Skałba we study the problem of existence of sequences consisting only digit in the periodic part of the continued fractions expansions of square roots of primes. We present some conditional results depending on Schinzel Hypothesis H. Moreover, we prove unconditionally that there are infinitely many prime numbers such that the continued fraction expansion of contains three consecutive 's in the periodic part. We also present results of our computations related to the considered problem and formulate several open questions and conjectures. | |
| 12.04.2017r. | Pseudometryka Weyla w ukladach dynamicznych danych przez działanie grup amenabilnych |
| Martha Łącka | |
| Abstract: Pseudometryka Weyla mierzy, jak podobne są do siebie orbity punktów względem działania ustalonej grupy amenabilnej . Podczas referatu przedstawię pewne wlasności tej pseudometryki a następnie zastosuję je do dowodu twierdzenia Kriegera, które mówi, że jeśli G jest również rezydualnie skończona, to dla każdej liczby z przedziału istnieje ciąg Toeplitza względem o wyrazach w alfabecie -literowym, którego entropia jest równa . Referat będzie oparty na wspólnej pracy z Martą Pietrzyk. | |
| 05.04.2017r. | Formalne odwrotności uogólnionych ciągów Thue'go-Morse'a |
| Łukasz Merta | |
| Abstract: Mając dany szereg formalny , możemy w niektórych przypadkach rozważać jego odwrotność , tj. szereg, dla którego spełniona jest równość . Jeżeli współczynniki są wyrazami pewnego ciągu automatycznego, to współczynniki również zadają ciąg automatyczny, który nazwiemy formalną odwrotnością wyjściowego ciągu. W moim referacie rozważę ciągi automatyczne będące uogólnieniami ciągu Thue'go-Morse'a na przypadek modulo oraz modulo oraz przedstawię wybrane własności formalnych odwrotności tych ciągów. | |
| 22.03.2017r. | Normy Gowersa |
| Jakub Byszewski | |
| Abstract: Tematem referatu będzie wprowadzenie do norm Gowersa, ich związek z tzw. wyższą analizą fourierowską oraz zastosowania w problemach addytywnej kombinatoryki. | |
| 15.03.2017r. | Arytmetyczne własności ciągów zliczających permutacje szczególnych typów |
| Piotr Miska | |
| Abstract: W pracy ''Involutions and their progenies'' T. Amdeberhan i V. Moll badali tożsamości kombinatoryczne, waluacje -adyczne i asymptotykę liczb inwolucji , tzn. liczb takich permutacji zbioru -elementowego, że jest identycznością. Zauważmy, że permutacje będące inwolucjami dają się przedstawić w postaci iloczynów rozłącznych transpozycji. Naturalnym staje się wówczas pytanie o własności arytmetyczne liczb permutacji zbioru -elementowego, które są iloczynami rozłącznych cykli długości (gdzie jest ustaloną liczbą naturalną większą od ). W niniejszym referacie omówię uzyskane wraz z M. Ulasem wyniki dotyczące liczb : tożsamości kombinatoryczne, okresowość ciągów , gdzie jest liczbą pierwszą, natomiast dodatnią liczbą naturalną, waluacje -adyczne, a także własności pewnych wielomianów powiązanych z funkcjami tworzącymi ciągów . | |
| 08.03.2017r. | O problemie Petho |
| Maciej Ulas | |
| Abstract: Podczas referatu przedstawię wyniki dotyczące konstrukcji liczb algebraicznych stopnia cztery, dla których wartości funkcji wymiernej przyjmują wartości będące rzeczywistymi niewymiernościami kwadratowymi. Problem ten ma ścisły związek z istnieniem jedności w ciałach algebraicznych, których współrzędne leżą w ciągu arytmetycznym. | |
| 01.03.2017r. | Asymmetric numeral systems and complex base numeral systems |
| Jarosław Duda | |
| Abstract: I will talk about two unusual approaches to numeral systems. The first one has motivation from information theory: that symbol of probability carries bits of information. Standard binary numeral system is optimal for probability distribution this way. Asymmetric numeral systems kind of asymmetrize it to make it optimal for any arbitrarily chosen probability distribution. Specifically, if a natural number contains already encoded information, to add information from a symbol of probability , this number is increased to . In contrast, the second: complex base numeral systems means just using a complex number as the base of a standard numeral system. It turns out that there is a discrete set of such complex bases providing nearly bijective (beside a zero measure set) representation of the (complex) plane, and its set of fractional numbers corresponds to a fractal - getting fractal covering of a plane (or 3D). | |
| 25.01.2017r. | Hipoteza Van der Waerdena i wielomiany stabilne |
| Marta Pietrzyk | |
| Abstract: Hipoteza Van der Waerdena z 1926 roku (udowodniona przez Egorychev '81 i Falikman '81) mówi, że permanent macierzy podwójnie stochastycznej jest ograniczony z dołu przez . W referacie przedstawię dowód tej hipotezy opierając się na teorii wielomianów stabilnych (Gurvits '05). | |
| 18.01.2017r. | Skończenie różniczkowalne szeregi formalne |
| Maciej Chrzanowski | |
| Abstract: W referacie wprowadzimy podstawowe pojęcia dotyczące skończenie różniczkowalnych szeregów formalnych oraz funkcji wielomianowo rekurencyjnych. Przedstawimy zależność między tymi pojęciami, w szczególności twierdzenie wiążące oba pojęcia tzn. szereg formalny jest D-skończony wtw. gdy funkcja opisująca jego współczynniki jest P-rekurencyjna. Następnie zauważymy, że pojęcie D-skończoności szeregów formalnych jest podobne do pojęcia algebraiczności co pozwoli rozważyć które z właściwości algebraicznych zachodzą dla D-skończonych szeregów formalnych. | |
| 11.01.2017r. | Cyclotomic polynomials and Halmos invariant |
| Jakub Byszewski | |
| Abstract: In his classical book, Halmos considers an invariant of an automorphism of a torus and asks to what extent the corresponding dynamical system is determined uniquely by the invariant. The problem has been solved only recently by Weiss using the work of Quas-Soo. The result of Weiss is concerned with the (generalised) Halmos invariant of a dynamical system (defined as a certain set of polynomials with integer coefficients) which is shown to depend only on the rational spectrum of the system. A part of the result, concerned with cyclotomic polynomials, is non-explicit. We answer the question of Quas-Soo and Weiss on cyclotomic polynomials and the Halmos invariant of finite systems. | |
| 04.01.2017r. | Gowers norms of Thue-Morse, Rudin-Shapiro and other automatic sequences |
| Jakub Konieczny | |
| Abstract: We estimate Gowers uniformity norms for some classical automatic sequences, such as the Thue-Morse and Rudin-Shapiro sequences. As an application, we asymptotically count arithmetic progressions in the set of integers where the Thue-Morse (resp. Rudin-Shapiro) sequence takes the value +1. | |
| 21.12.2016r. | Entropia i własności miar niehiperbolicznych zdefiniowanych przy pomocy konstrukcji GIKN |
| Dominik Kwietniak | |
| Abstract: Gorodetski, Iljaszenko, Klepcyn, i Nalski w [Functional Analysis and its Applications, 39 (2005), no. 1] podali konstrukcję ergodycznej miary niehiperbolicznej, która bazuje na podaniu warunków gwarantujących, że dany ciąg miar okresowych zmierza *-słabo do miary ergodycznej. Metoda ta została później wykorzystana w wielu sytuacjach i stała się jedną z najpopularniejszych technik znajdywania miar z zerowym wykładnikiem Lapunowa (niehiperbolicznych). Udowodnimy, że konstrukcja GIKN zawsze prowadzi do luźnej miary Bernoullego o zerowej entropii. W tym celu wprowadzimy pseudometrykę Feldmana-Katoka stanowiącą topologiczny odpowiednik metryki f-bar Feldmana (zdefiniowanej niezależnie przez Katoka) i badanej przez Ornsteina, Rudolpha i Weissa. Jest to wspólny wynik z Marthą Łącką. | |
| 14.12.2016r. | O zbiorze wartości przyjmowanych przez ciąg regularny |
| Eryk Lipka | |
| Abstract: Jak wiadomo, nie każdy ciąg -regularny jest -automatyczny, okazuje się jednak, że warunek wystarczający na automatyczność można wyrazić w terminach zbioru wartości ciągu regularnego. Jeśli podzbiór liczb całkowitych posiada własność skończonej orbity, to każdy ciąg -regularny z wartościami tylko w tym zbiorze jest -automatyczny. Fakt ten pozwala udowodnić między innymi, że nieograniczony ciąg regularny musi przyjmować nieskończenie wiele wartości złożonych. Referat bazuje na rezultatach uzyskanych przez Jasona P. Bella. | |
| 07.12.2016r. | Waluacja -adyczna uogólnionych ciągów Fibonacciego |
| Bartosz Sobolewski | |
| Abstract: W referacie przytoczymy najpierw wybrane rezultaty dotyczące waluacji -adycznej wyrazów ciągu Fibonacciego oraz Tribonacciego. Następnie pokażemy, w jaki sposób można uogólnić zastosowane metody na przypadek ciągów -nacciego. Otrzymane wyniki zostaną wykorzystane do rozwiązywania pewnego typu równań diofantycznych z udziałem uogólnionych ciągów Fibonacciego. | |
| 30.11.2016r. | Entropia soficzna |
| Martha Łącka | |
| Abstract: Grupy soficzne zostały wprowadzone przez Gromova pod koniec XX wieku. Wiadomo dziś, że grupy soficzne spełniają wiele hipotez postawionych z myślą o dowolnych grupach przeliczalnych. Pytaniem otwartym jest natomiast, czy wszystkie grupy przeliczalne są soficzne. W czasie referatu pokażę, że wszystkie grupy mierzalne (ang. amenable groups) oraz wszystkie grupy rezydualnie skończone są soficzne. Następnie zdefiniuję entropię soficzną i jeśli czas pozwoli przedstawię szkic wykorzystującego to pojęcie dowodu hipotezy Gottschalka o surjunktywności w przypadku grup soficznych. Referat będzie oparty na fragmencie książki D. Kerra Ergodic Theory. Independence and Dichotomies. | |
| 23.11.2016r. | Wielomiany uogólnione, nilrozmaitości i ciągi automatyczne |
| Jakub Byszewski | |
| Abstract: Przedmiotem referatu będą zbiory zadane przez wielomiany uogólnione o zerowej gęstości lub - równoważnie - zbiory czasów, w których orbity ergodycznego obrotu na nilrozmaitościach trafiają w podzbiór semialgebraiczny o pustym wnętrzu. W referacie omówionę będą wyniki, przykłady oraz hipotezy dotyczące arytmetycznej i kombinatorycznej struktury takich zbiorów, a także ich zastosowanie do problemu opisania ciągów automatycznych zadanych przez wielomiany uogólnione. Referat będzie oparty na wspólnej pracy z Jakubem Koniecznym (Oxford). | |
| 16.11.2016r. | Dynamiczne i kombinatoryczne zastosowania ultrafiltrów - wprowadzenie |
| Jakub Byszewski | |
| Abstract: W referacie wprowadzimy podstawowe pojęcia dotyczące przestrzeni ultrafiltrów i pokażemy ich związki z dynamiką topologiczną, teorią ergodyczną i kombinatoryką. Przedstawimy w szczególności dynamiczny dowód twierdzenia Hindmana o IP zbiorach. Drugim celem referatu jest przedstawienie pojęć i twierdzeń pozwalających na omówienie uzyskanych wspólnie z Jakubem Koniecznym wyników, które będą przedmiotem kolejnego referatu. | |
| 9.11.2016r. | -adyczne waluacje współczynników rozwinięć pewnych potęg całkowitych szeregów potęgowych |
| Maciej Ulas | |
| Abstract: Podczas referatu zostanie przedstawiona metoda, która w pewnych sytuacjach umożliwia pokazanie ograniczoności -adycznej waluacji współczynników rozwinięć całkowitych potęg szeregów potęgowych. W szczególności wykażemy, że jeśli jest funkcją tworząca dla ciągu Rudina-Shapiro (określonego na alfabecie {-1,1}), to współczynniki rozwinięcia mają waluację ograniczoną z góry przez . | |
| 26.10.2016r. | Wybrane arytmetyczne własności ciągów automatycznych i regularnych (2) |
| Łukasz Merta | |
| Abstract: Ciąg -automatyczny to ciąg przyjmujący skończenie wiele wartości, w którym -ty wyraz jest otrzymywany przez zastosowanie pewnego skończonego algorytmu do cyfr rozwinięcia liczby przy podstawie . Ciągi regularne są wprowadzonym przez Allouche'a i Shallita uogólnieniem ciągów automatycznych na klasę ciągów przyjmujących nieskończenie wiele wartości. Głównym przedmiotem seminarium będzie przedstawienie wybranych własności i twierdzeń dotyczących ciągów automatycznych i regularnych. Referat jest kontynuacją referatu z zeszłego tygodnia. | |
| 19.10.2016r. | Wybrane arytmetyczne własności ciągów automatycznych i regularnych |
| Łukasz Merta | |
| Abstract: Ciąg -automatyczny to ciąg przyjmujący skończenie wiele wartości, w którym -ty wyraz jest otrzymywany przez zastosowanie pewnego skończonego algorytmu do cyfr rozwinięcia liczby przy podstawie . Ciągi regularne są wprowadzonym przez Allouche'a i Shallita uogólnieniem ciągów automatycznych na klasę ciągów przyjmujących nieskończenie wiele wartości. Głównym przedmiotem seminarium będzie przedstawienie wybranych własności i twierdzeń dotyczących ciągów automatycznych i regularnych. | |
| 12.10.2016r. | O podzielności przez liczby pierwsze elementów pewnych ciągów liczbowych |
| Błażej Żmija | |
| Abstract: Niech będzie rosnącym ciągiem liczb naturalnych, . Definiujemy następujący nowy ciąg: . Za początkowe wyrazy możemy wziąć dowolne liczby naturalne. Dla ciągu określamy także jego górny stopień zdefiniowany następująco: . Celem referatu będzie pokazanie, że jeśli jest liczbą pierwszą, to nieskończenie wiele wyrazów ciągu jest podzielnych przez . Podamy także mocniejsze wersje tego twierdzenia w szczególnych przypadkach oraz przedstawimy możliwe uogólnienia dotyczące badania ogólniejszych klas ciągów oraz kongruencji , gdzie niekoniecznie jest zerem. Jako szczególne przypadki wspomnianych twierdzeń otrzymamy fakty dotyczące ciągów oraz , czyli odpowiednio ciągów liczby partycji -arnych oraz liczby partycji -arnych bez przerw. | |
2015/2016
expand/collapse
| 15.06.2016r. | Twierdzenie Greena-Tao |
| Elżbieta Krawczyk | |
| Abstract: W 2004 roku B. Green i T. Tao udowodnili, że zbiór liczb pierwszych zawiera dowolnie długie ciągi arytmetyczne. Twierdzenie składa się z dwóch zasadniczych części: uogólnienia twierdzenia Szemerediego na pewne ,,pseudolosowe'' podzbiory liczb naturalnych i części teorioliczbowej polegającej na zastosowaniu tego uogólnienia do konkretnego przypadku liczb pierwszych. Podczas referatu zajmiemy się pierwszą z nich, kładąc szczególny nacisk na związki z teorią ergodyczną. | |
| 08.06.2016r. | Dyskryminatory i ciągi -regularne |
| Paweł Snoch | |
| Abstract: Przedstawimy krótką historię ww. pojęć. Dalej zdefiniujemy oraz omówimy dyskryminatory i ciągi -regularne. Zaprezentujemy przykłady ciągów -regularnych oraz ich własności. Na koniec udowodnimy twierdzenie o pewnym ciągu -regularnym, którego dyskryminator nie jest -regularny. W referacie będziemy bazowali na pracy Discriminators and -Regular Sequences --- Sajed Haque i Jaffrey Shallit z Uniwersytetu Waterloo. | |
| 01.06.2016r. | Graph reconstruction problems and dynamical systems on a Cantor set |
| Gunther Cornelissen | |
| Abstract: We describe a finite graph by an absolute continuity class of a measure on the boundary of a regular tree, equivariant for the action of a free group. We then describe how certain invariants of this measure-theoretical dynamical system can be reconstructed from edge-deleted subgraphs (in the sense of the reconstruction conjectures of Kelly, Ulam and Harary), related to the reconstruction of the Ihara zeta function. The talk is based on joint work with Janne Kool. | |
| 25.05.2016r. | Teoria ergodyczna w fizyce |
| Weronika Biela | |
| Abstract: Przedstawimy rys historyczny teorii ergodycznej, zasadę Boltzmana i jej zastosowanie, m.in. poprzez wyprowadzenie statystyk kwantowych dla gazów bozonów i fermionów. Omówimy przykłady układów, w których nie jest zachowane twierdzenie Poincarego oraz zastosowanie twierdzenia ergodycznego do udowodnienia, że nie może istnieć perpetuum mobile II rodzaju. | |
| 18.05.2016r. | Dziesiąty problem Hilberta |
| Dominik Walter | |
| Abstract: W referacie przedstawione zostanie tło historyczne X problemu Hilberta oraz jego rozstrzygnięcie przez Matiyasevicha. Przedstawimy szkicowy dowód nierozwiązalności problemu za pracą Davisa Hilbert's Tenth Problem is Unsolvable. W końcowej części omówimy uogólnienia problemu dla innych pierścieni - głównie wyniki Poonena oraz Everesta dotyczące nierozstrzygalności dla dużych podpierścieni ciała liczb wymiernych. | |
| 16.05.2016r. | O sumie dwóch dzielników wartości wielomianów stopnia 2 |
| Eryk Lipka | |
| Abstract: Celem referatu będzie przedstawienie pewnych wyników dotyczących istnienia całkowitych dzielników wartości wielomianów stopnia dwa posiadających pewne specjalne własności. Wyniki te znajdują zastosowanie w problemie rozkładalności trójmianów specjalnego typu. | |
| 04.05.2016r. | Metody ergodyczne w teorii liczb |
| Wojciech Porowski | |
| Abstract: Podczas referatu przedstawimy trzy twierdzenia dotyczące teorii liczb i kombinatoryki (między innymi twierdzenie Sarkozy'ego-Furstenberga) wraz z dowodami wykorzystującymi metody teorii ergodycznej i teorii układów dynamicznych. Referat na podstawie: Vitaly Bergelson, ,,Combinatorial and Diophantine Applications of Ergodic Theory''. | |
| 27.04.2016r. | Uogólnione twierdzenie Rodsetha-Gupty |
| Błażej Żmija | |
| Abstract: Niech oznacza liczbę przedstawień liczby na sumy postaci , gdzie są nieujemnymi liczbami całkowitymi. Rodseth i Gupta pokazali niezależnie, że zachodzi kongruencja , gdzie oznacza część całkowitą liczby . W referacie postaramy się znaleźć podobne zależności dla sum postaci , gdzie są liczbami całkowitymi, których suma wynosi zero. Opierać będziemy się na pracy Generalization of the Rodseth-Gupta theorem on binary partitions autorstwa G. Alkauskasa. | |
| 20.04.2016r. | Dynamiczne i topologiczne własności przestrzeni , gdzie jest alfabetem skończonym z pseudometrykami Besicovitcha i Weyla |
| Marta Pietrzyk | |
| Abstract: | |
| 13.04.2016r. | Sumy cyfr ciągów liczbowych |
| Grzegorz Wójcik | |
| Abstract: Sumę cyfr kolejnych liczb naturalnych od do zapisanych w systemie liczbowym o podstawie wyraża równanie . W referacie przedstawione zostanie m.in. twierdzenie mówiące, że część jest ciągłą, nieróżniczkowalną w żadnym punkcie funkcją okresową oraz uzależnimy wyrazy ciągu sum częściowych ciągu Rudin-Shapiro od innej, również ciągłej, nieróżniczkowalnej funkcji okresowej. Referat przygotowano na podstawie podrozdziału 3.5 książki ''Automatic Sequences'' autorstwa J.P. Allouche'a i J. Shallita. | |
| 06.04.2016r. | Asymptotyka ciągu Sterna-Brocota |
| Maciej Gawron | |
| Abstract: Ciąg Sterna-Brocota jest zdefiniowany jako . Ciąg ten posiada naturalną interpretację kombinatoryczną jako liczba hiperdwójkowych reprezentacji liczb naturalnych. Wiadomo, że , gdzie jest złotą liczbą. W 1982 E. Berlekamp, J. Conway i R. Guy postawili w swojej książce problem obliczenia granicy . Pewne ograniczenia na podali m.in. N.Calkin i H.Wilf w 1998. Ostatecznie w 2013 roku niezależnie M. Coons i J. Tyler, oraz referent udowodnili, że . Głównym celem referatu jest przedstawienie dowodu tego faktu. Jeżeli czas pozwoli przedstawimy uogólnienie tego twierdzenia na asymptotykę ciągu zdefiniowanego jako liczba hiper--narnych reprezentacji liczby naturalnej, dokładniej udowodnimy, że . | |
| 30.03.2016r. | Funkcja złożoności i entropia pseudogrupy |
| Martha Łącka | |
| Abstract: Podczas referatu zbadamy związek pomędzy złożonością pseudogrupy, jej równociągłością, własnością mieszania oraz entropią (w sensie Ghysa-Langevina-Walczaka). Udowodnimy także, że entropia pseudogrupy może być (pod pewnymi dodatkowymi założeniami) liczona względem pseudometryki dynamicznie generującej. | |
| 09.03.2016r. | Zbiory wymierne i regularne |
| Konrad Deka | |
| Abstract: W referacie przedstawione zostaną podstawowe własności pewnych podzbiorów liczb naturalnych - zbiorów wymiernych i regularnych. Pokażemy, że każdy zbiór wymierny jest sumą dwóch zbiorów regularnych, co pozwala w szczególności odpowiedzieć negatywnie na postawione przez Bergelsona i Ruzsę pytanie o to, czy suma dwóch zbiorów regularnych musi być regularna. | |
| 02.03.2016r. | Zastosowanie metody redukcji Bakera do rozwiązania układu równań diofantycznych , |
| Piotr Miska | |
| Abstract: Twierdzenie A. Bakera dotyczące logarytmicznych form liniowych pozwala w wielu przypadkach efektywne oszacować rozwiązania równania diofantycznego i w ostateczności wyznaczyć je wszystkie. Jest to bardzo mocne i popularne narzędzie wykorzystywane do rozwiązywania równań diofantycznych. Korzystając z postaci rozwiązań równań diofantycznych oraz metody redukcji Bakera wykażę, że układ równań , posiada tylko dwa rozwiązania w liczbach naturalnych dodatnich oraz (w przeciwieństwie do faktu, że każde równanie posiada nieskończenie wiele rozwiązań). Referat na podstawie pracy A. Bakera i H. Davenporta "The equations and ". | |
| 24.02.2016r. | -rozwinięcia, uogólnione szeregi Lurotha i konstrukcje nowych układów dynamicznych |
| Paulina Słysz | |
| Abstract: W referacie przedstawiona zostanie zależność między beta rozwinięciami i uogólnionymi szeregami Lurotha. W tym celu przypomnimy pewne standardowe konstrukcje układów dynamicznych (przekształcenia indukowane i wieże Kakutaniego-Rochlina) związane z twierdzeniem Poincarego o powracaniu. Referat w oparciu o czwarty rozdział książki K. Dajani i C. Kraaikampa ,,Ergodic theory of numbers''. | |
| 27.01.2016r. | Ergodyczne własności ułamków łańcuchowych (2) |
| Izabela Pusztuk | |
| Abstract: W referacie wykażemy, że zdefiniowane jako , gdzie różne od zera, jest ergodyczne. Zwrócimy również uwagę na osiągnięcia matematyków związane z ułamkami łańcuchowymi. Na końcu wykażemy kilka własności dotyczących ułamków łańcuchowych. Referat jest oparty o trzeci rozdział książki K. Dajani i C. Kraaikampa ,,Ergodic theory of numbers''. | |
| 20.01.2016r. | Ergodyczne własności ułamków łańcuchowych |
| Izabela Pusztuk | |
| Abstract: W referacie wykażemy, że zdefiniowane jako , gdzie różne od zera, jest ergodyczne. Zwrócimy również uwagę na osiągnięcia matematyków związane z ułamkami łańcuchowymi. Na końcu wykażemy kilka własności dotyczących ułamków łańcuchowych. Referat jest oparty o trzeci rozdział książki K. Dajani i C. Kraaikampa ,,Ergodic theory of numbers''. | |
| 13.01.2016r. | Tożsamości kombinatoryczne i asymptotyka liczb -nieporządków |
| Piotr Miska | |
| Abstract: Dla liczb naturalnych definiujemy -nieporządek zbioru -elementowego jako permutację tego zbioru taką, że nie ma ona punktów stałych i elementy znajdują się w (parami) rozłącznych cyklach. -tą liczbą -nieporządków nazywamy liczbę wszystkich -nieporządków zbioru -elementowego. Jeśli , to ciąg jest ciągiem liczb klasycznych nieporządków. W referacie przedstawię rekurencje spełniane przez liczby -nieporządków, wyprowadzę ich wzór jawny oraz pokażę ich związek z liczbami Laha (liczbami podziału zbioru -elementowego na ciągów, których kolejność nie jest uwzględniana). Poza tym wyznaczę asymptotykę liczb -nieporządków. Referat na podstawie wspólnej pracy z I. Mezo i C. Wang. | |
| 16.12.2015r. | Własności ergodyczne -rozwinięć (3) |
| Paulina Leśniak | |
| Abstract: W referacie scharakteryzujemy dopuszczalne ciągi -rozwinięć liczb należących do . Ponadto omówione zostaną własności ergodyczne -rozwinięć. W szczególności wykażemy, że jest ergodyczne. Referat przygotowano na podstawie książki K. Dajani, C. Kraaikamp, Ergodic theory of numbers. | |
| 02.12.2015r. | Podstawowe twierdzenia teorii ergodycznej |
| Magdalena Biskup | |
| Abstract: Seminarium stanowi wprowadzenie do teorii ergodycznej - dziedziny przyciągającej uwagę matematyków już od lat dwudziestych ubiegłego stulecia. W referacie przedstawimy podstawowe wnioski tej teorii, uwzględniając w szczególności warunki równoważne ergodyczności odwzorowań, a także Twierdzenie Ergodyczne Birkhoffa. W referacie podamy między innymi definicję liczb normalnych (wraz z przykładami), a także definicje słabego i mocnego mieszania. | |
| 18.11.2015r. | Beta rozwinięcia |
| Anita Gilarska | |
| Abstract: W referacie wprowadzone zostaną beta rozwinięcia. Omówione zostaną ich własności dynamiczne, a także podstawowe informacje o liczbach Pisota i Salema. Referat jest oparty o drugi rozdział książki K. Dajani i C. Kraaikampa ''Ergodic theory of numbers''. | |
| 04.11.2015r. | Rozwinięcia -arne i szeregi Luerotha |
| Anna Wylezik | |
| Abstract: Na seminarium zdefiniujemy rozwinięcia liczb rzeczywistych w szereg Luerotha oraz omówimy ich własności dynamiczne. | |
| 04.11.2015r. | Skończone ciągi pseudolosowe (2) |
| Grzegorz Wójcik | |
| Abstract: Na seminarium wprowadzimy różne miary pseudo-losowości ciągu skończonego, omówimy związki między nimi, a także wyznaczymy ich wartości dla ciągów takich jak ciąg Chapernowne'a, Thuego-Morse'a czy Rudina-Shapiro. | |
| 28.10.2015r. | Skończone ciągi pseudolosowe |
| Grzegorz Wójcik | |
| Abstract: Na seminarium wprowadzimy różne miary pseudo-losowości ciągu skończonego, omówimy związki między nimi, a także wyznaczymy ich wartości dla ciągów takich jak ciąg Chapernowne'a, Thuego-Morse'a czy Rudina-Shapiro. | |
| 21.10.2015r. | Ergodyczna teoria liczb (2) |
| Paweł Snoch | |
| Abstract: W referacie przedstawione zostaną niezbędne informacje potrzebne do zdefiniowania układów dynamicznych opartych na teorii miary. Następnie przedstawione zostaną ułamki łańcuchowe - podstawowe wiadomości oraz sposób konstrukcji oraz miara Gaussa (na podstawie książki K. Dajani, C. Kraaikamp, Ergodic theory of numbers). | |
| 14.10.2015r. | Ergodyczna teoria liczb (1) |
| Monika Kowalik | |
| Abstract: Podczas referatu przedstawię pierwszą część wprowadzenia do ergodycznej teorii liczb. Opowiem o rozwinięciach dziesiętnych liczb wymiernych i teorii miary. Referat na podstawie I rozdziału książki Ergodic Theory of Numbers (K. Dajani, C. Kraaikamp). | |
2014/2015
expand/collapse
| 10.06.2015r. | Kryteria regularności szeregów mahlerowskich |
| Tomasz Kisielewski | |
| Abstract: Szeregi regularne i mahlerowskie są daleko idącymi uogólnieniami ciągów automatycznych. Od dawna wiadomo, że wszystkie szeregi regularne są mahlerowskie, ale dotąd nie był znany żaden dobry warunek konieczny i wystarczający, aby szereg mahlerowski był regularny. Podczas referatu przedstawię takie kryterium oraz szkic dowodu jego poprawności. | |
| 03.06.2015r. | Twierdzenie Ornsteina-Weissa |
| Andrzej Bedychaj | |
| Abstract: | |
| 27.05.2015r. | Własności topologiczne zbiorów niezmienniczych dla 2-wymiarowych automorfizmów hiperbolicznych torusa |
| Marta Pietrzyk | |
| Abstract: Zajmiemy się własnościami topologicznymi zbiorów niezmienniczych dla dyfeomorfizmu Anosova z dziurami. Zbadamy ich moc, lokalną maksymalność, entropię oraz wymiar. Główny wynik omawianej pracy to twierdzenie mówiące, że wymiar Hausdorffa zbioru niezmienniczego można policzyć za pomocą entropii oraz stałych hiperbolicznych. | |
| 20.05.2015r. | Trik van der Corputa oraz twierdzenia ergodyczne dla grup amenabilnych |
| Martha Łącka | |
| Abstract: Ciąg nazywamy równo rozłożonym, jeśli dla każdego przedziału asymptotyczna częstość występowania elementów tego ciągu w przedziale wynosi . Twierdzenie Wayla mówi, że jeśli wielomian o współczynnikach rzeczywistych ma co najmniej jeden współczynnik niewymierny, to ciąg jest równo rozłożony. Jeden z dowodów tego twierdzenia wykorzystuje trik van der Corputa. Podczas referatu pokażemy, że trik ten "działa" nie tylko dla liczb całkowitych, ale również dla dowolnej przeliczalnej grupy amenabilnej. W tym celu pokażemy również średnie twierdzenie ergodyczne dla działania grup amenabilnych. Na koniec przedyskutujemy, co trzeba założyć o ciągu Folnera, aby móc uogólnić indywidualne twierdzenie ergodyczne Birkhoffa. Referat na podstawie blogu Moreiry oraz prac Lindenstraussa, Hochmana, Butlera i Rosenblatta. | |
| 13.05.2015r. | Od liczb normalnych do punktów generycznych |
| Dominik Kwietniak | |
| Abstract: | |
| 29.04.2015r. | Punkty wymierne o wymiernych odległościach od wierzchołków pewnych obiektów geometrycznych. |
| Maciej Ulas | |
| Abstract: Podczas referatu przedstawię wpsólne wyniki otrzymane z A. Bremnerem (Arizona State University, USA) dotyczące istnienia punktów na płaszczyźnie o wymiernych odległościach od rodziny prostokątów aproksymujących kwadrat jednostkowy. Przedstawię również pewne uogólnienia otrzymanych wyników. | |
| 22.04.2015r. | O pewnej klasie równań diofantycznych |
| Maciej Ulas | |
| Abstract: Podczas seminarium opowiem o pewnych wynikach dotyczących istnienia wielomianowych rozwiązań równań diofantycznych postaci , gdzie jest formą kwadratową o współczynnikach całkowitych spełniającą pewne dodatkowe warunki. W szczególności, przedstawione wyniki zostaną zastosowane do wykazania istnienia prymitywnych rozwiązań całkowitych pewnych równań (quasi-) diagonalnych postaci . | |
| 01.04.2015r. | Topics in Numbers and Dynamics |
| Thomas Ward | |
| Abstract: Seminarium w ramach cyklu wykładów, które poświęcone będą interakcjom między teorią ergodyczną i teorią układów dynamicznych z jednej strony a algebrą i arytmetyką z drugiej. Kurs ten adresowany jest przede wszystkim do studentów drugiego stopnia, doktorantów i pracowników IMUJ, ale może zainteresować także fizyków i przedstawicieli innych kierunków ścisłych. | |
| 25.03.2015r. | Konstrukcje układania w teorii ergodycznej |
| Weronika Biela | |
| Abstract: Referat na podstawie artykułu: ”Replication and stacking in Ergodic Theory” Nathaniela Friedmana. | |
| 11.03.2015r. | O formalnej odwrotności ciągu Prouheta-Thuego-Morse'a |
| Maciej Gawron | |
| Abstract: Niech będzie ciągiem Prouheta-Thuego-Morse'a ( w skrócie PTM) określonym na alfabecie z . Niech będzie funkcją tworzącą dla ciągu PTM. Tutaj jest ciałem dwuelementowy. Podczas referatu przedstawię pewne wyniki dotyczące arytmetycznych własności ciągu , który jest ciągiem współczynników formalnego szeregu potęgowego będącego formalną odwrotnością szeregu , tj. w . | |
| 04.03.2015r. | Arytmetyczne własności współczynników rozwinięcia potęg funkcji tworzącej dla ciągu Prouhet-Thuego-Morse'a. |
| Maciej Ulas | |
| Abstract: Niech będzie funkcją tworzącą dla ciągu Prouheta-Thuego-Morse'a określonego na alfabecie. Podczas referatu opowiem o arytmetycznych własnościach ciągu współczynników rozwinięcia funkcji , gdzie jest ustaloną liczbą całkowitą. | |
| 28.01.2015r. | A survey of some recent developments in ergodic theory of actions of countable groups |
| Benjamin Weiss (Einstein Institute of Mathematics, Hebrew University of Jerusalem) | |
| Abstract: The lecture will be a part of a longer course: a link to a description of the course. | |
| 21.01.2015r. | Ergodic theorems and the "Rohlin lemma" for amenable groups. |
| Benjamin Weiss (Einstein Institute of Mathematics, Hebrew University of Jerusalem) | |
| Abstract: The lecture will be a part of a longer course: a link to a description of the course. | |
| 07.01.2015r. | Pojęcie entropii w algebrze lokalnej (2) |
| Jakub Byszewski | |
| Abstract: W 2011 roku M. Majidi-Zolbanin, N. Miasnikov i L. Szpiro wprowadzili pojęcie entropii dla endomorfizmów skończonej długości noetherowskich pierścieni lokalnych. Pojęcie to uogólnia badane przez Kunza i innych od końca lat 60. niezmienniki pierścieni charakterystyki p, a jednocześnie jest związane z pojęciami entropii topologicznej, entropii algebraicznej zdefiniowanej dla odwzorowań wymiernych na przestrzeni rzutowej, a także z niezmiennikami endomorfizmów pierścieni kiełków funkcji analitycznych badanych przez Favre i Jonssona. W referacie przestawię podstawowe definicje i wyniki związane z entropią endomorfizmów pierścieni lokalnych, w tym uogólnienie twierdzenia Kunza o regularności, a także sformułuję kilka pytań otwartych. | |
| 17.12.2014r. | Pojęcie entropii w algebrze lokalnej |
| Jakub Byszewski | |
| Abstract: W 2011 roku M. Majidi-Zolbanin, N. Miasnikov i L. Szpiro wprowadzili pojęcie entropii dla endomorfizmów skończonej długości noetherowskich pierścieni lokalnych. Pojęcie to uogólnia badane przez Kunza i innych od końca lat 60. niezmienniki pierścieni charakterystyki p, a jednocześnie jest związane z pojęciami entropii topologicznej, entropii algebraicznej zdefiniowanej dla odwzorowań wymiernych na przestrzeni rzutowej, a także z niezmiennikami endomorfizmów pierścieni kiełków funkcji analitycznych badanych przez Favre i Jonssona. W referacie przestawię podstawowe definicje i wyniki związane z entropią endomorfizmów pierścieni lokalnych, w tym uogólnienie twierdzenia Kunza o regularności, a także sformułuję kilka pytań otwartych. | |
| 10.12.2014r. | O pewnym przykładzie Weissa |
| Dominik Kwietniak | |
| Abstract: B. Weiss skonstruował topologicznie mieszający układ dynamiczny z gęstym zbiorem punktów okresowych (a więc także z miarą niezmienniczą o pełnym nośniku), ale bez ergodycznej miary niezmienniczej o pełnym nośniku. Weiss postawił także parę hipotez na temat pozostałych własności tego układu. W czasie referatu przedstawimy nową konstrukcję układu dynamicznego, który ma te same własności co układ Weissa, ale potrafimy o nim udowodnić o wiele więcej niż udowodnił i przypuszczał Weiss o swoim układzie. | |
| 03.12.2014r. | Entropia w układach zachowujących miarę |
| Andrzej Bedychaj | |
| Abstract: Przedstawię definicję entropii i entropii warunkowej. Postaram się zanalizować podstawowe własności wymienionych wcześniej obiektów w kontekście układów zachowujących miarę. Swój wywód przeprowadzę na podstawie rozdziału z nieskończonej jeszcze książki ''Entropy in dynamics'' Warda, Einsiedlera i Lindenstraussa. | |
| 26.11.2014r. | Układy dynamiczne dla miar przyjmujących wartości w ciałach niearchimedesowych |
| Piotr Miska | |
| Abstract: Wprowadzimy pojęcie miary przyjmującej wartości w ciele niearchimedesowym oraz pojęcie całki względem takiej miary. Zbadamy podstawowe własności układów dynamicznych zachowujących miary w ustalonym ciele niearchimedesowym. Udowodnimy związki pomiędzy relacjami izomorfizmu, sprzężenia i spektralnego izomorfizmu takowych układów. Zdefiniujemy pojęcie entropii dla miary niearchimedesowej oraz wykażemy jej powiązanie z entropią topologiczną. Jeśli czas pozwoli, to zaprezentujemy przykłady pokazujące, że twierdzenie Poincarego o powracaniu nie zachodzi w przypadku miar niearchimedesowych. | |
| 19.11.2014r. | An introduction to Bratelli diagrams |
| Olena Karpel (Department of Mathematics, Institute for Low Temperature Physics, Kharkov, Ukraine) | |
| Abstract: We will introduce Bratteli diagrams and focus on their application in topological dynamics. | |
| 12.11.2014r. | Tranzytywne odwzorowanie dendrytu w siebie o zerowej entropii |
| Jakub Byszewski | |
| Abstract: It is a result of Blokh that every transitive map of a topological tree has positive entropy and a dense set of periodic points. It was expected by some that these results generalize to maps of dendrites. Recently, Hoehn and Mouron introduced a family of maps on the Ważewski universal dendrite which are topologically weak mixing but not mixing. We modify their construction to show that there also exists such a map with zero topological entropy. This answers the question of Baldwin and provides a new example of a transitive dendrite map whose periodic points are not dense. This is joint work with Fryderyk Falniowski and Dominik Kwietniak. | |
| 05.11.2014r. | Mierzalna dynamika prostych wielomianów p-adycznych (3) |
| Tomasz Kisielewski | |
| Abstract: Liczby -adyczne są uzupełnieniem liczb wymiernych alternatywnym do liczb rzeczywistych. Na ciele liczb -adycznych można wprowadzić miarę analogiczną do miary Lebesgue'a, co pozwala mówić o ergodyczności odwzorowań tamże. To pozwoli nam rozważać minimalność i ergodyczność prostych odwzorowań -- translacji, przekształceń afinicznych i jednomianów. Po przygotowawczych lematach z zeszłego tygodnia zajmiemy się już konkretnymi odwzorowaniami. | |
| 29.10.2014r. | Mierzalna dynamika prostych wielomianów p-adycznych (2) |
| Tomasz Kisielewski | |
| Abstract: Liczby -adyczne są uzupełnieniem liczb wymiernych alternatywnym do liczb rzeczywistych. Na ciele liczb -adycznych można wprowadzić miarę analogiczną do miary Lebesgue'a, co pozwala mówić o ergodyczności odwzorowań tamże. To pozwoli nam rozważać minimalność i ergodyczność prostych odwzorowań -- translacji, przekształceń afinicznych i jednomianów. Po przygotowawczych lematach z zeszłego tygodnia zajmiemy się już konkretnymi odwzorowaniami. | |
| 22.10.2014r. | Mierzalna dynamika prostych wielomianów p-adycznych |
| Tomasz Kisielewski | |
| Abstract: Liczby -adyczne są uzupełnieniem liczb wymiernych alternatywnym do liczb rzeczywistych. Na ciele liczb -adycznych można wprowadzić miarę analogiczną do miary Lebesgue'a, co pozwala mówić o ergodyczności odwzorowań tamże. To pozwoli nam rozważać minimalność i ergodyczność prostych odwzorowań -- translacji, przekształceń afinicznych i jednomianów. | |
| 15.10.2014r. | Affine actions of a free semigroup on the real line (na podstawie pracy Bergelsona, Misiurewicza i Sentiego) |
| Dominik Kwietniak | |
| Abstract: | |
2013/2014
expand/collapse
| 04.06.2014r. | Twierdzenie Newtona-Puiseux |
| Marcin Lara | |
| Abstract: Twierdzenie Newtona-Puiseux mówi, że jeśli jest ciałem algebraicznie domkniętym charakterystyki , to domknięcie algebraiczne jest sumą ciał po . Opierając się na pracy Kirana S. Kedlai, zaprezentuję konstrukcję domknięcia algebraicznego dla ciała algebraicznie domkniętego o dodatniej charakterystyce w terminach pewnych uogólnionych szeregów formalnych i ciągów automatycznych. | |
| 28.05.2014r. | Ergodyczne własności orbit morfizmów rozmaitości afinicznych |
| Kamil Kuźmicki | |
| Abstract: Rozważmy rozmaitość afiniczną oraz jej podzbiór domknięty w sensie Zariskiego. Ustalmy pewien morfizm tej rozmaitości. Wykorzystując własności przestrzeni Berkovicha, pokażemy, że dla -orbity dowolnego punktu zachodzi: jeśli ciąg indeksów tych iteracji, które trafiają w ma dodatnią gęstość Banacha, to ów ciąg zawiera już pewien ciąg arytmetyczny. Referat na podstawie pracy: ''On the distribution of orbits in affine varieties'', Clayton Petsche z 2014 r. | |
| 21.05.2014r. | Entropia i kompresja danych |
| Marcin Dziaduś | |
| Abstract: Celem referatu jest naświetlenie związku kompresji tekstu z entropią źródła danych. Udowodnimy, że entropia topologiczna stanowi dolne ograniczenie na stopień kompresji. Ponadto przyjrzymy się algorytmowi Ziva-Lempela oraz pokażemy, że dla pewnej szczególnej klasy źródeł osiąga on dolne ograniczenie. | |
| 07.05.2014r. | Sharkovsky's theorem |
| Keith Burns | |
| Abstract: We give a natural and direct proof of a famous result by Sharkovsky that gives a complete description of possible sets of periods for interval maps. The new ingredient is the use of Stefan sequences. | |
| 23.04.2014r. | Twierdzenie Borela o gęstości |
| Anna Szumowicz | |
| Abstract: W swoim referacie przedstawię dowód twierdzenia Borela o gęstości. Twierdzenie to mówi, że w półprostych grupach algebraicznych nad każda podgrupa o skończonej koobjętości jest gęsta w topologii Zariskiego. Pozwala ono także stwierdzić, że w przypadku prostej grupy algebraicznej nad każda podgrupa o skończonej koobjętości jest dyskretna lub jest całą grupą. | |
| 23.04.2014r. | Twierdzenie ergodyczne Hoowe'a-Moore'a |
| Mikołaj Frączyk | |
| Abstract: Niech będzie prostą niezwartą grupą Liego działającą mierzalnie na przestrzeni probabilistycznej . Twierdzenie Hoowe'a-Moore'a mówi, że gdy działanie grupy jest ergodyczne, to wtedy dla każdej niezwartej podgrupy Liego grupy działanie na jest również ergodyczne. W trakcie referatu pokażemy, jak wywnioskować powyższe twierdzenie z własności reprezentacji unitarnych i podamy dokładny dowód dla przypadku . Na koniec podamy kilka zastosowań twierdzenia Hoowe'a-Moore'a. Literatura: Robert J. Zimmer, Ergodic Theory and Semisimple Groups (Monographs in Mathematics), Birkhauser 1984. | |
| 16.04.2014r. | Equidistribution on nilmanifolds |
| Jakub Konieczny | |
| Abstract: I will discuss some of the recent results on equidistribution on nilmanifolds. Recall that a nilmanifold is a quotient where is a nilpotent Lie group and is a co-compact discrete subgroup. One can consider the dynamics on given by for a fixed . Leon Green proved that a linear orbit on a nilmanifold is equidistributed, unless there exists a non-trivial character which is constant on the orbit. Later, this result was extended to polynomial orbits by Leibman. Finally, Green and Tao proved a quantitative version of this theorem, saying that an finite segment of a polynomial orbit is either close to being equidistributed, or there exists a slowly varying character. I will discuss the theory and methods behind this result, as well as its applications. In particular, I will explain how this problem relates to the Mobius and nilsequences conjecture of Green and Tao, and to the problem of solving linear equtions in the primes. | |
| 16.04.2014r. | Topological and measure theoretical strong forms of sensitivity and sequence entropy |
| Felipe Garcia-Ramos | |
| Abstract: We define strong forms of topological and measure theoretical sensitivity (strong sensitivity and mu-mean sensitivity) for topological dynamical systems (TDS). We show strong sensitivity strictly implies positive topological sequence entropy and that an ergodic TDS is mu-mean sensitive if and only if it has positive sequence entropy (i.e. has no discrete spectrum). | |
| 09.04.2014r. | Podejście do twierdzenia Jina za pomocą ultrafiltrów |
| Damian Drzymalski | |
| Abstract: Dobrze znanym faktem i nietrudnym do udowodnienia jest twierdzenie, że jeśli podzbiór zbioru liczb całkowitych ma dodatnią górną gęstość Banacha, to wtedy zbiór różnic jest syndetyczny, w szczególności dlugość dziur w nim jest jednostajnie ograniczona. Co ciekawe, Renling Jin pokazał, że jeśli i mają dodatnią gorną gęstość Banacha, wtedy jest kawałkami syndetyczny (gęsty). Wynik Jina wynika prosto z pierwszego faktu oraz tego, że ma "duże" przecięcie z przesuniętą kopią . Nie jest to prawdą w ogólności dla przesunięć, jednak pomysł ten da się naprawić, jeśli odpowiednio wykorzystamy "shifty przez ultrafiltry". W konsekwencji dostaniemy twierdzenie Jina. | |
| 02.04.2014r. | Wnioski z Twierdzenia Ruzsa i jego zgrabny dowód przy użyciu Maksymalnego Twierdzenia Ergodycznego |
| Konrad Żołna | |
| Abstract: Maksymalne Twierdzenie Ergodyczne pozwala w klarowny sposób udowodnić zaproponowany przez Yuval Peresa lemat. Prosta implikacja tegoż lematu okazuje się Twierdzeniem Ruzsa, które z kolei prowadzi do rozszerzenia wyniku Bergelsona: Jeżeli podzbiór liczb naturalnych E ma dodatnią gęstość Banacha, to: (a) istnieje podzbiór liczb naturalnych , którego gęstość Schnirelmana przewyższa gęstość Banacha zbioru , (b) dla każdego skończonego podzbioru zbioru istnieje liczba naturalna a należąca do każdego ze zbiorów . | |
| 26.03.2014r. | Struktura sympleksu miar niezmienniczych ze względu na shift oraz możliwe wartości entropii takich miar (na podstawie pracy "On the Approximation of Stationary Measures by Periodic and Ergodic Measures'', J.C. Kieffer, The Annals of Probability,1974, Vol. 2, No. 3) |
| Martha Łącka | |
| Abstract: Podczas referatu przedstawię kilka twierdzeń omawiających strukturę sympleksu probabilistycznych miar niezmienniczych ze względu na shift. Pokażę m.in., że dla dowolnej miary z tego zbioru i dla dowolnego istnieje miara okresowa, która zgadza się z na -cylindrach. Zaprezentuję rownież twierdzenie, które mówi, jakie wartości może przyjmować entropia takiej miary. | |
| 12.03.2014r. | Arytmetyczne wlasności ciągu pochodzącego od sumy arcustangensowej (2) (na podstawie pracy T. Amdeberhana, L.A. Mediny i V.H. Molla) |
| Piotr Miska | |
| Abstract: Ciąg zadany wzorem , spełnia rekurencję z warunkiem początkowym . Pokażę, że liczba jest dobrze określona dla każdego i jest równa tylko dla . Przedstawię hipotezę, że nie jest liczbą calkowitą dla . Podam kilka warunków na całkowitość liczb i związek wspomnianej hipotezy z dobrze znaną hipotezę o istnieniu nieskończenie wielu liczb pierwszych oraz z problemem, czy iloczyn postaci może być kwadratem liczby całkowitej, gdy . | |
| 05.03.2014r. | Arytmetyczne wlasności ciągu pochodzącego od sumy arcustangensowej (na podstawie pracy T. Amdeberhana, L.A. Mediny i V.H. Molla) |
| Piotr Miska | |
| Abstract: Ciąg zadany wzorem , spełnia rekurencję z warunkiem początkowym . Pokażę, że liczba jest dobrze określona dla każdego i jest równa tylko dla . Przedstawię hipotezę, że nie jest liczbą calkowitą dla . Podam kilka warunków na całkowitość liczb i związek wspomnianej hipotezy z dobrze znaną hipotezę o istnieniu nieskończenie wielu liczb pierwszych oraz z problemem, czy iloczyn postaci może być kwadratem liczby całkowitej, gdy . | |
| 26.02.2014r. | Twierdzenia Skolema-Mahlera-Lecha |
| Jakub Byszewski | |
| Abstract: Klasyczne twierdzenie Skolema-Mahlera-Lecha głosi, że zbiór indeksów, w których zeruje się pewien ciąg liniowo rekurencyjny o wyrazach zespolonych składa się ze zbioru skończonego i skończonej sumy ciągów arytmetycznych. W referacie przedstawię pojawiające się w innych kontekstach twierdzenia pokrewne pochodzące m.in. od Bezivina, Derksena, Bella, Adamczewskiego i Lagariasa. | |
| 22.01.2014r. | O pewnych zależnościach między teorią ergodyczną a teorią informacji |
| Fryderyk Falniowski | |
| Abstract: Teoria informacji i teoria ergodyczna to dwie bliskie i mocno oddziałujące ze sobą dziedziny. Narzędzia i twierdzenia jednej z powodzeniem stosowane są w drugiej. W tym referacie omówię pewne zastosowania twierdzeń i metod teorii ergodycznej w teorii informacji. | |
| 15.01.2014r. | Hipoteza Sarnaka |
| Dominik Kwietniak | |
| Abstract: | |
| 08.01.2014r. | Uogólnione ciągi Thuego-Morse'a |
| Jakub Byszewski | |
| Abstract: Ciąg Thuego-Morse'a to ciąg zerojedynkowy o jedynkach na miejscu liczb naturalnych, których rozwinięcie binarne zawiera nieparzystą liczbę cyfr jeden. Ciąg Thuego-Morse'a pojawia się w naturalny sposób w wielu działach matematyki, np. w teorii liczb, kombinatoryce słów, układach dynamicznych, geometrii różniczkowej i krystalografii. W referacie skonstruuję pewne uogólnienie ciągów Thuego-Morse'a i wskażę zastosowania tak uogólnionych ciągów. Powyższe wyniki są częścią wspólnej pracy z Maciejem Ulasem. | |
| 18.12.2013r. | Wielomiany Sterna (2) |
| Maciej Gawron | |
| Abstract: Zakończymy dowód twierdzenia o gęstości liczby wielomianów Sterna mających pierwiastek wymierny. Przedstawimy charakteryzację kolejnych wielomianów Sterna o równych stopniach. Przedstawimy wyniki i hipotezy dotyczące symetrycznych wielomianów Sterna. Przedstawimy dowód dokładnego oszacowania asymptotyki ciągu Sterna. | |
| 11.12.2013r. | Wielomiany Sterna |
| Maciej Gawron | |
| Abstract: W referacie przedstawię definicje i własności ciągu wielomianów Sterna zdefiniowanych rekurencyjnie wzorami Scharakteryzuję zbiór możliwych pierwiastków wymiernych wielomianów w tym ciągu. Przy pomocy teorii ciągów automatycznych oszacuję górną gęstość liczby wielomianów Sterna mających pierwiastek wymierny. Wyznaczę wszystkie pary kolejnych wielomianów Sterna o równych stopniach. Przedstawię rownież wyniki i hipotezy dotyczące symetrycznych wielomianów Sterna. | |
| 04.12.2013r. | Lemat Steinhausa, twierdzenie Jina i tematy pokrewne |
| Martha Łącka | |
| Abstract: W 1920 roku H. Steinhaus udowodnił, że jeśli jest podzbiorem liczb rzeczywistych o dodatniej mierze Lebesgue'a, to zbiór (różnica algebraiczna zbiorów) zawiera odcinek dla pewnej liczby . Wynik ten zainspirował postawienie dalszych problemów. R. Jin pokazał, że różnica algebraiczna dwóch zbiorów o dodatniej górnej gęstości Banacha jest kawałkami syndetyczna. Podczas seminarium zostanie przedstawiony nowy dowód tego twierdzenia pochodzący od Beiglboecka i wykorzystujący ultrafiltry. Omówione zostaną również niektóre inne rezultaty dotyczące zbioru różnic ,,dużych'' zbiorów (przy różnych definicjach tego słowa). | |
| 27.11.2013r. | Teoria fraktali |
| Michał Rams | |
| Abstract: | |
| 20.11.2013r. | -szeregi i ich zastosowanie w teorii partycji |
| Maciej Ulas | |
| Abstract: Celem referatu będzie wprowadzenie słuchaczy do teorii -szeregów i ich zastosowań. W pierwszej części referatu przedstawione zostaną podstawowe definicje i twierdzenia. Druga część referatu będzie dotyczyć zastosowań -szeregów w teorii partycji liczb naturalnych. W szczególności podamy dowód tożsamości Eulera związanej z liczbami ,,pięciokątnymi'' oraz przedstawimy dowód tożsamości Jacobiego i wynikające z niej wnioski. | |
| 13.11.2013r. | |
| Dominik Kwietniak | |
| Abstract: | |
| 06.11.2013r. | Multiple zeta values and multiple polylogarithms |
| Maciej Gawron | |
| Abstract: Problem algebraicznej zależności wartości funkcji dzeta-Riemanna w liczbach nieparzystych jest jednym ze słynnych nierozwiązanych problemów teorii liczb, którego historia sięga czasów Eulera. Zagadnienie to można rozpatrywać jako szczególny przypadek problemu liniowej zależności wartości uogólnionej funkcji dzeta-Riemanna w liczbach całkowitych (MZVs). W referacie przedstawię definicje oraz podstawowe własności MZVs, oraz ich uogólnienia tzw. multiple polylogarithms (MPLs). Omówię najnowsze wyniki dotyczące struktury algebry generowanej przez MZVs, glówne hipotezy tej teorii oraz kierunek współczesnych badań. | |
| 30.10.2013r. | Uwagi na temat waluacji p-adycznych sum Schenkera |
| Piotr Miska | |
| Abstract: Sumami Schenkera nazywamy liczby postaci . Waluacja -adyczna tych sum została dokładnie przebadana przez T. Amdeberhana, D. Callana i V. Molla w artykule ``Valuations and combinatorics of truncated exponential sums''. Autorzy próbowali zbadać waluacje -adyczne sum Schenkera dla nieparzystych liczb pierwszych , ale nie opisali ich dokładnie dla wszystkich liczb pierwszych. Problem stanowią tak zwane liczby pierwsze Schenkera. Najmniejszą liczbą pierwszą Schenkera jest liczba . Autorzy cytowanego wyżej artykułu sformułowali hipotezę dotyczacą zachowania waluacji -adycznej sum Schenkera oraz jej uogólnienie na dowolne liczby pierwsze Schenkera. W czasie referatu udowodnię, że pierwsza z tych hipotez jest prawdziwa, natomiast druga nie. | |
| 23.10.2013r. | Automatic sequences and applications |
| Jean-Paul Allouche (CNRS, IMJ, Paris) | |
| Abstract: Abstract. Automatic sequences are infinite sequences taking only finitely many values which can be generated by simple abstract 'machines' called finite automata. These sequences are 'easy to generate' but can have 'nontrivial' properties. We will give several equivalent definitions of these sequences (purely combinatorial, theoretical computer science flavored, number-theoretical). Then we will prove properties and applications of these sequences, from number theory to harmonic analysis, from theoretical computer science to combinatorics, but also in physics and (somehow) in music. We will (try to) use the Thue-Morse sequence as an example in all possible fields. | |
| 16.10.2013r. | Kolorowania liczb wymiernych i monochromatyczne konfiguracje postaci {x+y,xy} (2) |
| Jakub Byszewski | |
| Abstract: Następujące pytanie jest otwarte: czy dla dowolnego kolorowania zbioru liczb naturalnych na skończoną liczbę kolorów istnieją dwie różne liczby, których suma i produkt ma ten sam kolor. W lipcu tego roku Vitaly Bergelson i Joel Moreira, stosując techniki teorii ergodycznej, rozstrzygneli pozytywnie analogiczny problem dla kolorowań liczb wymiernych. Referat będzie kontynuacją seminarium z zeszłego tygodnia, ale główne wyniki zostaną przeze mnie przypomniane. | |
| 09.10.2013r. | Kolorowania liczb wymiernych i monochromatyczne konfiguracje postaci {x+y,xy} |
| Jakub Byszewski | |
| Abstract: Następujące pytanie jest otwarte: czy dla dowolnego kolorowania zbioru liczb naturalnych na skończoną liczbę kolorów istnieją dwie różne liczby, których suma i produkt ma ten sam kolor. W lipcu tego roku Vitaly Bergelson i Joel Moreira, stosując techniki teorii ergodycznej, rozstrzygneli pozytywnie analogiczny problem dla kolorowań liczb wymiernych. Referat w naturalny sposób kontynuuje tematykę przedstawioną przez V. Bergelsona na wrześniowych XVI Międzynarodowych Warsztatach dla Młodych Matematyków, ale podstawowe wyniki z ergodycznej teorii Ramseya zostaną przeze mnie przypomniane. | |
| 02.10.2013r. | Grupy soficzne |
| Dominik Kwietniak | |
| Abstract: Grupy soficzne wprowadził niejawnie Gromov pod koniec XX wieku. Pojęcie grupy soficzne rozpropagował Benji Weiss. W czasie referatu przedstawię elementarne wprowadzenie do teorii grup soficznych (potrzebna będzie tylko wiedza z kursów topologii i algebry) oraz opowiem o licznych problemach otwartych tej teorii. Wiadomo dziś, że grupy soficzne spełniają wiele hipotez postawionych z myślą o dowolnych grupach. Nie wiadomo, czy wszystkie grupy są soficzne... | |